The Form and Function of Duality in Modern Mathematics
Des phénomènes compris sous le terme de dualité se produisent tout au long de l'histoire des mathématiques dans toutes ses branches, de la dualité des polyèdres à la dualité de Langlands. En considérant une « épistémologie interne » de la dualité, nous essayons de comprendre les avantages trouv...
Shranjeno v:
| Auteurs principaux: | , |
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| Format: | Article ou chapitre numérique |
| Jezik: | Français |
| Izdano: |
2015
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| Online dostop: | Accès Université d'Orléans et IFPM Accès Université d'Orléans et IFPM |
| Izvleček: | Des phénomènes compris sous le terme de dualité se produisent tout au long de l'histoire des mathématiques dans toutes ses branches, de la dualité des polyèdres à la dualité de Langlands. En considérant une « épistémologie interne » de la dualité, nous essayons de comprendre les avantages trouvés par les mathématiciens dans l'exploitation de situations duales. Nous abordons ces questions au moyen d'une compréhension inspirée de la théorie des catégories. Suivant Mac Lane et Lawvere-Rosebrugh, nous distinguons entre dualités « axiomatiques » ou « formelles » (ou de type Gergonne) d'une part et « fonctionnelles » ou « concrètes » (ou de type Poncelet) de l'autre. Alors que les premières sont souvent utilisées dans le cadre d'une stratégie deux théorèmes par une preuve, les secondes permettent souvent d'étudier des « espaces » par des fonctions définies sur eux, ce qui, dans la terminologie de Grothendieck, revient à prouver un théorème en travaillant dans un cadre dualement équivalent où la preuve correspondante est plus facile à obtenir. Nous essayons de montrer par quelques exemples que dans le premier cas, les objets duaux ont tendance à être plus idéaux (épistémologiquement plus éloignés) que ceux d'origine, tandis qu'il n'en va pas nécessairement de même dans le second cas. |
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