Intégration et applications : cours et exercices corrigés
Ce livre est principalement destiné aux étudiants de L3 en mathématiques, mais il sera aussi utile aux étudiants des écoles d ingénieurs et aux physiciens. Les étudiants préparant l agrégation de mathématiques l utiliseront aussi avec profit. Il contient près de 200 exercices, plus ou moins longs, a...
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| Hovedforfatter: | |
|---|---|
| Format: | Livre papier |
| Sprog: | Français |
| Udgivet: |
Paris :
Ellipses
DL 2016.
|
| Serier: | Références sciences
|
| Fag: | |
| Autres localisations: | Voir dans le Sudoc |
Indholdsfortegnelse:
- P. i
- Liminaire
- P. 1
- I. Intégrale de Riemann
- P. 1
- I.1. Introduction
- P. 2
- I.2. Construction de l'intégrale de Riemann
- P. 2
- I.2.1. Introduction
- P. 4
- I.2.2. Fonctions en escalier
- P. 5
- I.2.3. Sommes de Darboux
- P. 6
- I.2.4. Construction
- P. 8
- I.2.5. Exemples
- P. 10
- I.2.6. Sommes de Riemann
- P. 12
- I.3. Propriétés de l'intégrale de Riemann
- P. 12
- I.3.1. Linéarité
- P. 13
- I.3.2. Positivité
- P. 14
- I.3.3. Produit
- P. 15
- I.3.4. Théorème fondamental du Calcul Intégral
- P. 18
- I.3.5. Convergence pour les suites de fonctions
- P. 19
- I.3.6. Intégrales dépendant d'un paramètre
- P. 21
- I.3.7. Intégration par parties et changement de variable
- P. 23
- I.3.8. Formules de la moyenne
- P. 27
- I.3.9. Annexe
- P. 28
- I.4. Intégrales généralisées
- P. 28
- I.4.1. Introduction
- P. 31
- I.4.2. Fonctions positives
- P. 34
- I.4.3. Fonctions qui ne sont pas positives
- P. 38
- I.4.4. Intégrales généralisées de suites de fonctions
- P. 42
- I.5. Exercices
- P. 47
- II. Tribus et mesures
- P. 47
- II.1. Introduction
- P. 48
- II.2. Tribus de parties
- P. 48
- II.2.1. Dénombrabilité
- P. 49
- II.2.2. Tribus
- P. 55
- II.3. Applications mesurables
- P. 55
- II.3.1. Définitions
- P. 55
- II.3.2. Critères de mesurabilité
- P. 58
- II.3.3. Sous-espaces
- P. 59
- II.3.4. Mesurabilité des applications à valeurs réelles
- P. 63
- II.3.5. Opérations sur les applications mesurables
- P. 67
- II.3.6. Fonctions étagées
- P. 70
- II.4. Mesures positives
- P. 70
- II.4.1. Définition - Exemples
- P. 73
- II.4.2. Construction de mesures positives
- P. 74
- II.4.3. Propriétés des mesures positives
- P. 78
- II.4.4. Quelques propriétés de la mesure de Lebesgue
- P. 81
- II.5. Annexe sur la dénombrabilité
- P. 85
- II.6. Exercices
- P. 85
- II.6.1. Dénombrabilité
- P. 86
- II.6.2. Ensembles et applications mesurables
- P. 88
- II.6.3. Mesures positives
- P. 93
- III. Construction de l'intégrale de Lebesgue
- P. 93
- III.1. Intégration des fonctions étagées positives
- P. 100
- III.2. Intégration des fonctions mesurables positives
- P. 100
- III.2.1. Définition et premières propriétés
- P. 103
- III.2.2. Le Théorème de convergence monotone
- P. 105
- III.2.3. Cas de la mesure de comptage
- P. 108
- III.2.4. Le Lemme de Fatou
- P. 109
- III.3. Fonctions intégrables réelles ou complexes
- P. 109
- III.3.1. Fonctions réelles
- P. 113
- III.3.2. Fonctions à valeurs complexes
- P. 115
- III.4. Comparaison avec l'intégrale de Riemann
- P. 115
- III.4.1. Cas d'un intervalle compact
- P. 117
- III.4.2. Cas des intégrales généralisées
- P. 119
- III.5. Exemples d'intégrabilité
- P. 119
- III.5.1. Mesure de Dirac
- P. 119
- III.5.2. Mesure de comptage sur N*
- P. 119
- III.5.3. Mesure-image
- P. 121
- III.5.4. Mesures à densité
- P. 123
- III.5.5. Intégration sur une partie mesurable
- P. 124
- III.6. Exercices
- P. 127
- IV. Théorème de convergence dominée et ses conséquences
- P. 127
- IV.1. La notion de presque partout
- P. 127
- IV.1.1. Ensembles négligeables
- P. 129
- IV.1.2. Propriétés vraies presque partout
- P. 135
- IV.1.3. Complément
- P. 135
- IV.2. Le Théorème de convergence dominée
- P. 135
- IV.2.1. Théorème de convergence dominée de Lebesgue
- P. 141
- IV.2.2. Quelques exemples d'utilisation
- P. 145
- IV.3. Intégrales dépendant d'un paramètre
- P. 145
- IV.3.1. Position du problème
- P. 146
- IV.3.2. Continuité
- P. 147
- IV.3.3. Limites
- P. 148
- IV.3.4. Dérivabilité
- P. 154
- IV. 4. Exercices
- P. 155
- IV.4.1. Théorème de convergence dominée
- P. 160
- IV.4.2. Intégrales dépendant d'un paramètre
- P. 165
- V. Intégration sur un espace produit
- P. 165
- V.1. Produit d'espaces mesurables
- P. 165
- V.1.1. Tribu engendrée par une famille d'applications
- P. 166
- V.1.2. Produit d'espaces mesurables
- P. 167
- V.1.3. Cas des tribus boréliennes
- P. 168
- V.1.4. Applications mesurables
- P. 170
- V.2. Mesure-produit
- P. 170
- V.2.1. Unicité des mesures
- P. 174
- V.2.2. Définition de la mesure-produit
- P. 180
- V.3. Théorèmes de Fubini
- P. 180
- V.3.1. Cas des fonctions positives
- P. 185
- V.3.2. Fonctions à valeurs réelles ou complexes
- P. 188
- V.3.3. Quelques exemples d'application
- P. 196
- V.4. Exercices
- P. 203
- VI. Les espaces Lp
- P. 203
- VI.1. Espaces L1 et L1
- P. 206
- VI.2. Espaces Lp et Lp pour 1 <p<8
- P. 206
- VI.2.1. Définition
- P. 208
- VI.2.2. Complétude
- P. 209
- VI.2.3. Inégalité de Hölder
- P. 213
- VI.3. Sous-espaces denses
- P. 213
- VI.3.1. Fonctions étagées
- P. 215
- VI.3.2. Propriétés de régularité des mesures
- P. 219
- VI.3.3. Fonctions continues à support compact
- P. 222
- VI.4. Exercices
- P. 231
- VII. Changement de variable sur un ouvert de RN
- P. 231
- VII.1. Propriétés de la mesure de Lebesgue
- P. 235
- VII.2. Théorème général de changement de variable
- P. 236
- VII.2.1. Exemple important : coordonnées polaires dans le plan
- P. 238
- VII.3. Preuve du Théorème de changement de variables
- P. 242
- VII.4. Exercices
- P. 247
- VIII. Séries de Fourier
- P. 247
- VIII.1. Séries de Fourier des fonctions continues
- P. 253
- VIII.2. Séries de Fourier des fonctions intégrables
- P. 253
- VIII.2.1. Séries de Fourier des fonctions de L1
- P. 254
- VIII.2.2. Séries de Fourier des fonctions de L2
- P. 256
- VIII.3. Annexe : Rappel sur les espaces de Hilbert
- P. 256
- VIII.3.1. Généralités
- P. 257
- VIII.3.2. Orthogonalité
- P. 259
- VIII.3.3. Bases orthonormées
- P. 262
- VIII.4. Exercices
- P. 269
- IX. Introduction aux Probabilités
- P. 269
- IX.1. Généralités
- P. 269
- IX.1.1. Espace de probabilité
- P. 270
- IX.1.2. Variables aléatoires
- P. 271
- IX.1.3. Loi d'une variable aléatoire
- P. 273
- IX.1.4. Exemples de lois usuelles
- P. 278
- IX.2. Indépendance
- P. 278
- IX.2.1. Événements indépendants
- P. 279
- IX.2.2. Variables aléatoires indépendantes
- P. 281
- IX.2.3. Propriétés des v.a.r. indépendantes
- P. 283
- IX.2.4. Somme de v.a.r. indépendantes
- P. 286
- IX.2.5. Loi des grands nombres
- P. 288
- IX.3. Complément : de l'intérêt de la notion de tribu
- P. 288
- IX.3.1. Tribus indépendantes
- P. 290
- IX.3.2. Tribu asymptotique
- P. 291
- IX.3.3. Loi du 0 - 1 de Kolmogorov
- P. 294
- IX.4. Exercices
- P. 305
- X. Annexe
- P. 305
- X.1. Construction de la mesure de Lebesgue
- P. 305
- X.1.1. Mesure positive engendrée par une mesure extérieure
- P. 311
- X.1.2. Théorème de prolongement
- P. 314
- X.1.3. La mesure de Lebesgue sur R
- P. 319
- X.1.4. Propriétés de la mesure de Lebesgue sur R
- P. 322
- X.1.5. Mesure de Lebesgue sur Rd
- P. 322
- X.2. Théorème de représentation de Riesz
- P. 322
- X.2.1. Préliminaires topologiques
- P. 325
- X.2.2. Énoncé du Théorème de représentation
- P. 326
- X.2.3. Preuve de l'existence
- P. 333
- X.2.4. Annexe : Preuve du Théorème d'Urysohn
- P. 335
- XI. Corrigés des exercices
- P. 335
- XI.1. Exercices du Chapitre I
- P. 345
- XI.2. Exercices du Chapitre II
- P. 345
- XI.2.1. Dénombrabilité
- P. 347
- XI.2.2. Ensembles, applications mesurables
- P. 352
- XI.2.3. Mesures positives
- P. 360
- XI.3. Exercices du Chapitre III
- P. 367
- XI.4. Exercices du Chapitre IV
- P. 371
- XI.4.1. Théorème de convergence dominée
- P. 385
- XI.4.2. Intégrales dépendant d'un paramètre
- P. 399
- XI.5. Exercices du Chapitre V
- P. 417
- XI.6. Exercices du Chapitre VI
- P. 440
- XI.7. Exercices du Chapitre VII
- P. 454
- XI.8. Exercices du Chapitre VIII
- P. 471
- XI.9. Exercices du Chapitre IX
- P. 509
- Liste des notations
- P. 511
- Index terminologique