Intégration et applications : cours et exercices corrigés
Ce livre est principalement destiné aux étudiants de L3 en mathématiques, mais il sera aussi utile aux étudiants des écoles d ingénieurs et aux physiciens. Les étudiants préparant l agrégation de mathématiques l utiliseront aussi avec profit. Il contient près de 200 exercices, plus ou moins longs, a...
Spremljeno u:
| Glavni autor: | |
|---|---|
| Format: | Livre papier |
| Jezik: | Français |
| Izdano: |
Paris :
Ellipses
DL 2016.
|
| Serija: | Références sciences
|
| Teme: | |
| Autres localisations: | Voir dans le Sudoc |
| LEADER | 09770nam a22002897a 4500 | ||
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| 100 | 1 | |a Li, Daniel, |d 1954-...., |c mathématicien. | |
| 245 | 1 | 0 | |a Intégration et applications : |b cours et exercices corrigés |c Daniel Li. |
| 260 | |a Paris : |b Ellipses, |c DL 2016. | ||
| 300 | |a 1 volume (xi-513 pages) : |b couverture illustrée en couleur ; |c 24 cm. | ||
| 490 | 1 | |a Références sciences | |
| 504 | |a Bibliographie page iii. Index | ||
| 505 | 0 | |a P. i -- Liminaire -- P. 1 -- I. Intégrale de Riemann -- P. 1 -- I.1. Introduction -- P. 2 -- I.2. Construction de l'intégrale de Riemann -- P. 2 -- I.2.1. Introduction -- P. 4 -- I.2.2. Fonctions en escalier -- P. 5 -- I.2.3. Sommes de Darboux -- P. 6 -- I.2.4. Construction -- P. 8 -- I.2.5. Exemples -- P. 10 -- I.2.6. Sommes de Riemann -- P. 12 -- I.3. Propriétés de l'intégrale de Riemann -- P. 12 -- I.3.1. Linéarité -- P. 13 -- I.3.2. Positivité -- P. 14 -- I.3.3. Produit -- P. 15 -- I.3.4. Théorème fondamental du Calcul Intégral -- P. 18 -- I.3.5. Convergence pour les suites de fonctions -- P. 19 -- I.3.6. Intégrales dépendant d'un paramètre -- P. 21 -- I.3.7. Intégration par parties et changement de variable -- P. 23 -- I.3.8. Formules de la moyenne -- P. 27 -- I.3.9. Annexe -- P. 28 -- I.4. Intégrales généralisées -- P. 28 -- I.4.1. Introduction -- P. 31 -- I.4.2. Fonctions positives -- P. 34 -- I.4.3. Fonctions qui ne sont pas positives -- P. 38 -- I.4.4. Intégrales généralisées de suites de fonctions -- P. 42 -- I.5. Exercices -- P. 47 -- II. Tribus et mesures -- P. 47 -- II.1. Introduction -- P. 48 -- II.2. Tribus de parties -- P. 48 -- II.2.1. Dénombrabilité -- P. 49 -- II.2.2. Tribus -- P. 55 -- II.3. Applications mesurables -- P. 55 -- II.3.1. Définitions -- P. 55 -- II.3.2. Critères de mesurabilité -- P. 58 -- II.3.3. Sous-espaces -- P. 59 -- II.3.4. Mesurabilité des applications à valeurs réelles -- P. 63 -- II.3.5. Opérations sur les applications mesurables -- P. 67 -- II.3.6. Fonctions étagées -- P. 70 -- II.4. Mesures positives -- P. 70 -- II.4.1. Définition - Exemples -- P. 73 -- II.4.2. Construction de mesures positives -- P. 74 -- II.4.3. Propriétés des mesures positives -- P. 78 -- II.4.4. Quelques propriétés de la mesure de Lebesgue -- P. 81 -- II.5. Annexe sur la dénombrabilité -- P. 85 -- II.6. Exercices -- P. 85 -- II.6.1. Dénombrabilité -- P. 86 -- II.6.2. Ensembles et applications mesurables -- P. 88 -- II.6.3. Mesures positives -- P. 93 -- III. Construction de l'intégrale de Lebesgue -- P. 93 -- III.1. Intégration des fonctions étagées positives -- P. 100 -- III.2. Intégration des fonctions mesurables positives -- P. 100 -- III.2.1. Définition et premières propriétés -- P. 103 -- III.2.2. Le Théorème de convergence monotone -- P. 105 -- III.2.3. Cas de la mesure de comptage -- P. 108 -- III.2.4. Le Lemme de Fatou -- P. 109 -- III.3. Fonctions intégrables réelles ou complexes -- P. 109 -- III.3.1. Fonctions réelles -- P. 113 -- III.3.2. Fonctions à valeurs complexes -- P. 115 -- III.4. Comparaison avec l'intégrale de Riemann -- P. 115 -- III.4.1. Cas d'un intervalle compact -- P. 117 -- III.4.2. Cas des intégrales généralisées -- P. 119 -- III.5. Exemples d'intégrabilité -- P. 119 -- III.5.1. Mesure de Dirac -- P. 119 -- III.5.2. Mesure de comptage sur N* -- P. 119 -- III.5.3. Mesure-image -- P. 121 -- III.5.4. Mesures à densité -- P. 123 -- III.5.5. Intégration sur une partie mesurable -- P. 124 -- III.6. Exercices -- P. 127 -- IV. Théorème de convergence dominée et ses conséquences -- P. 127 -- IV.1. La notion de presque partout -- P. 127 -- IV.1.1. Ensembles négligeables -- P. 129 -- IV.1.2. Propriétés vraies presque partout -- P. 135 -- IV.1.3. Complément -- P. 135 -- IV.2. Le Théorème de convergence dominée -- P. 135 -- IV.2.1. Théorème de convergence dominée de Lebesgue -- P. 141 -- IV.2.2. Quelques exemples d'utilisation -- P. 145 -- IV.3. Intégrales dépendant d'un paramètre -- P. 145 -- IV.3.1. Position du problème -- P. 146 -- IV.3.2. Continuité -- P. 147 -- IV.3.3. Limites -- P. 148 -- IV.3.4. Dérivabilité -- P. 154 -- IV. 4. Exercices -- P. 155 -- IV.4.1. Théorème de convergence dominée -- P. 160 -- IV.4.2. Intégrales dépendant d'un paramètre -- P. 165 -- V. Intégration sur un espace produit -- P. 165 -- V.1. Produit d'espaces mesurables -- P. 165 -- V.1.1. Tribu engendrée par une famille d'applications -- P. 166 -- V.1.2. Produit d'espaces mesurables -- P. 167 -- V.1.3. Cas des tribus boréliennes -- P. 168 -- V.1.4. Applications mesurables -- P. 170 -- V.2. Mesure-produit -- P. 170 -- V.2.1. Unicité des mesures -- P. 174 -- V.2.2. Définition de la mesure-produit -- P. 180 -- V.3. Théorèmes de Fubini -- P. 180 -- V.3.1. Cas des fonctions positives -- P. 185 -- V.3.2. Fonctions à valeurs réelles ou complexes -- P. 188 -- V.3.3. Quelques exemples d'application -- P. 196 -- V.4. Exercices -- P. 203 -- VI. Les espaces Lp -- P. 203 -- VI.1. Espaces L1 et L1 -- P. 206 -- VI.2. Espaces Lp et Lp pour 1 <p<8 -- P. 206 -- VI.2.1. Définition -- P. 208 -- VI.2.2. Complétude -- P. 209 -- VI.2.3. Inégalité de Hölder -- P. 213 -- VI.3. Sous-espaces denses -- P. 213 -- VI.3.1. Fonctions étagées -- P. 215 -- VI.3.2. Propriétés de régularité des mesures -- P. 219 -- VI.3.3. Fonctions continues à support compact -- P. 222 -- VI.4. Exercices -- P. 231 -- VII. Changement de variable sur un ouvert de RN -- P. 231 -- VII.1. Propriétés de la mesure de Lebesgue -- P. 235 -- VII.2. Théorème général de changement de variable -- P. 236 -- VII.2.1. Exemple important : coordonnées polaires dans le plan -- P. 238 -- VII.3. Preuve du Théorème de changement de variables -- P. 242 -- VII.4. Exercices -- P. 247 -- VIII. Séries de Fourier -- P. 247 -- VIII.1. Séries de Fourier des fonctions continues -- P. 253 -- VIII.2. Séries de Fourier des fonctions intégrables -- P. 253 -- VIII.2.1. Séries de Fourier des fonctions de L1 -- P. 254 -- VIII.2.2. Séries de Fourier des fonctions de L2 -- P. 256 -- VIII.3. Annexe : Rappel sur les espaces de Hilbert -- P. 256 -- VIII.3.1. Généralités -- P. 257 -- VIII.3.2. Orthogonalité -- P. 259 -- VIII.3.3. Bases orthonormées -- P. 262 -- VIII.4. Exercices -- P. 269 -- IX. Introduction aux Probabilités -- P. 269 -- IX.1. Généralités -- P. 269 -- IX.1.1. Espace de probabilité -- P. 270 -- IX.1.2. Variables aléatoires -- P. 271 -- IX.1.3. Loi d'une variable aléatoire -- P. 273 -- IX.1.4. Exemples de lois usuelles -- P. 278 -- IX.2. Indépendance -- P. 278 -- IX.2.1. Événements indépendants -- P. 279 -- IX.2.2. Variables aléatoires indépendantes -- P. 281 -- IX.2.3. Propriétés des v.a.r. indépendantes -- P. 283 -- IX.2.4. Somme de v.a.r. indépendantes -- P. 286 -- IX.2.5. Loi des grands nombres -- P. 288 -- IX.3. Complément : de l'intérêt de la notion de tribu -- P. 288 -- IX.3.1. Tribus indépendantes -- P. 290 -- IX.3.2. Tribu asymptotique -- P. 291 -- IX.3.3. Loi du 0 - 1 de Kolmogorov -- P. 294 -- IX.4. Exercices -- P. 305 -- X. Annexe -- P. 305 -- X.1. Construction de la mesure de Lebesgue -- P. 305 -- X.1.1. Mesure positive engendrée par une mesure extérieure -- P. 311 -- X.1.2. Théorème de prolongement -- P. 314 -- X.1.3. La mesure de Lebesgue sur R -- P. 319 -- X.1.4. Propriétés de la mesure de Lebesgue sur R -- P. 322 -- X.1.5. Mesure de Lebesgue sur Rd -- P. 322 -- X.2. Théorème de représentation de Riesz -- P. 322 -- X.2.1. Préliminaires topologiques -- P. 325 -- X.2.2. Énoncé du Théorème de représentation -- P. 326 -- X.2.3. Preuve de l'existence -- P. 333 -- X.2.4. Annexe : Preuve du Théorème d'Urysohn -- P. 335 -- XI. Corrigés des exercices -- P. 335 -- XI.1. Exercices du Chapitre I -- P. 345 -- XI.2. Exercices du Chapitre II -- P. 345 -- XI.2.1. Dénombrabilité -- P. 347 -- XI.2.2. Ensembles, applications mesurables -- P. 352 -- XI.2.3. Mesures positives -- P. 360 -- XI.3. Exercices du Chapitre III -- P. 367 -- XI.4. Exercices du Chapitre IV -- P. 371 -- XI.4.1. Théorème de convergence dominée -- P. 385 -- XI.4.2. Intégrales dépendant d'un paramètre -- P. 399 -- XI.5. Exercices du Chapitre V -- P. 417 -- XI.6. Exercices du Chapitre VI -- P. 440 -- XI.7. Exercices du Chapitre VII -- P. 454 -- XI.8. Exercices du Chapitre VIII -- P. 471 -- XI.9. Exercices du Chapitre IX -- P. 509 -- Liste des notations -- P. 511 -- Index terminologique | |
| 520 | |a Ce livre est principalement destiné aux étudiants de L3 en mathématiques, mais il sera aussi utile aux étudiants des écoles d ingénieurs et aux physiciens. Les étudiants préparant l agrégation de mathématiques l utiliseront aussi avec profit. Il contient près de 200 exercices, plus ou moins longs, avec des solutions détaillées. Après un rappel conséquent sur l intégrale de Riemann, qu il est indispensable de bien maîtriser, la construction et les propriétés de l intégrale de Lebesgue sont développées. On montre ensuite comment l utiliser en analyse de Fourier et en probabilités. [Source : 4e de couv.] | ||
| 650 | |a Mathématiques | ||
| 650 | |a Calcul intégral | ||
| 650 | |a Intégrale de Riemann | ||
| 650 | |a Équations intégrales | ||
| 650 | |a Manuels d'enseignement supérieur | ||
| 650 | |a Problèmes et exercices | ||
| 997 | |0 601310 |1 Livre papier |a Ressource papier |c 0/Orléans/ |c 1/Orléans/BU Sciences, Technologies, STAPS/ |c 1/Orléans/IDP/ |z Orléans, BU Sciences, Technologies, STAPS, 515.43 LI |z Orléans, BU Sciences, Technologies, STAPS, 515.43 LI |z Orléans, IDP, 9025 LI | ||