Équations différentielles ordinaires avec applications : cours et exercices corrigés
Cet ouvrage traite d'une manière simple, concise, claire et progressive les équations différentielles ordinaires et réserve une partie à leurs applications, notamment à la mécanique et à l'électricité. En outre, un chapitre est dédié à l'approximation numérique des problèmes à conditi...
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| Auteurs principaux: | , |
|---|---|
| Format: | Livre papier |
| Sprog: | Français |
| Udgivet: |
Paris :
Ellipses
DL 2016.
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| Serier: | Références sciences
|
| Fag: | |
| Autres localisations: | Voir dans le Sudoc |
Indholdsfortegnelse:
- P. vii
- Introduction
- P. 1
- 1 Généralités
- P. 1
- 1.1 Définitions et terminologie
- P. 4
- 1.2 Solution des équations différentielles
- P. 8
- 1.3 Remarques sur les équations du premier ordre
- P. 12
- 1.4 Conclusion
- P. 13
- 2 Equations différentielles du 1er ordre
- P. 13
- 2.1 Equations à variables séparables
- P. 19
- 2.2 Equations différentielles homogènes
- P. 26
- 2.3 Equations différentielles exactes
- P. 36
- 2.3.1 Facteur intégrant
- P. 41
- 2.4 Equations linéaires
- P. 49
- 2.5 Equations de Bernoulli
- P. 54
- 2.6 Equations à coefficients linéaires
- P. 59
- 2.7 Equations d'ordre 2 réductibles au 1er ordre
- P. 65
- 2.8 Conclusion
- P. 71
- 3 Applications des équations du 1er ordre
- P. 71
- 3.1 Croissance et décroissance exponentielle
- P. 72
- 3.1.1 Modèle d'évolution d'une population
- P. 78
- 3.2 Problèmes de mélange
- P. 83
- 3.3 Problèmes en mécanique
- P. 90
- 3.4 Trajectoires orthogonales
- P. 95
- 3.5 Circuits électriques
- P. 101
- 3.6 Conclusion
- P. 105 ##
- 4 Equations différentielles linéaires d'ordre supérieur
- P. 105
- 4.1 Problèmes linéaires avec conditions initiales
- P. 109
- 4.2 Equations différentielles linéaires homogènes
- P. 109
- 4.2.1 Opérateurs différentiels
- P. 114
- 4.2.2 Principe de superposition
- P. 117
- 4.2.3 Indépendance linéaire et wronskien
- P. 122
- 4.2.4 Système fondamental de solutions
- P. 125
- 4.3 Equations homogènes à coefficients constants
- P. 139
- 4.4 Opérateur annulateur
- P. 142
- 4.5 Equations différentielles non homogènes
- P. 145
- 4.6 Méthode des coefficients indéterminés
- P. 152
- 4.6.1 Approche par superposition
- P. 154
- 4.6.2 Approche de l'annulateur
- P. 158
- 4.7 Méthode de variation des paramètres
- P. 165
- 4.8 Conclusion
- P. 169
- 5 Applications des équations différentielles du second ordre
- P. 169
- 5.1 Généralités
- P. 170
- 5.2 Oscillateur libre non amorti
- P. 170
- 5.2.1 Description du système
- P. 171
- 5.2.2 Equation harmonique simple
- P. 173
- 5.2.3 Solution générale de l'équation harmonique
- P. 175
- 5.2.4 Conservation de l'énergie
- P. 179
- 5.3 Oscillateur libre amorti
- P. 179
- 5.3.1 Description du système
- P. 180
- 5.3.2 Equation harmonique amortie
- P. 191
- 5.4 Oscillateur forcé
- P. 191
- 5.4.1 Oscillations forcées amorties
- P. 192
- 5.4.2 Equation différentielle du mouvement
- P. 195
- 5.4.3 Oscillations forcées non amorties sous excitation périodique
- P. 200
- 5.5 Circuits électriques
- P. 201
- 5.5.1 Equation différentielle pour un circuit RLC
- P. 202
- 5.5.2 Analogie avec l'étude des oscillations mécaniques
- P. 208
- 5.6 Conclusion
- P. 211
- 6 Equations linéaires à coefficients variables
- P. 212
- 6.1 Equations de Cauchy-Euler
- P. 215
- 6.2 Méthode de réduction de l'ordre
- P. 223
- 6.3 Introduction aux séries solutions
- P. 224
- 6.3.1 Points ordinaires et points singuliers
- P. 225
- 6.3.2 Rappels sur les séries entières
- P. 227
- 6.3.3 Existence des séries solutions au voisinage des points ordinaires
- P. 229
- 6.3.4 Suite définie par une relation de récurrence
- P. 233
- 6.4 Solutions autour de points ordinaires
- P. 248
- 6.5 Méthode de Frobenius
- P. 248
- 6.5.1 Points singuliers réguliers et irréguliers
- P. 250
- 6.5.2 Méthode de Frobenius
- P. 261
- 6.6 Equation indicielle avec deux racines égales
- P. 266
- 6.7 Cas où la différence entre les racines est un entier
- P. 272
- 6.8 Conclusion
- P. 277
- 7 La transformée de Laplace
- P. 277
- 7.1 Définition et existence
- P. 284
- 7.2 Propriétés de la transformée de Laplace
- P. 289
- 7.3 Transformée inverse de Laplace
- P. 296
- 7.4 Transformée des fonctions discontinues
- P. 302
- 7.5 Résolution des problèmes à valeurs initiales
- P. 308
- 7.6 Produit de convolution
- P. 316
- 7.7 Conclusion
- P. 321
- 8 Systèmes d'équations différentielles
- P. 321
- 8.1 Définition et réduction au premier ordre
- P. 327
- 8.2 Rappel sur les matrices
- P. 334
- 8.3 Valeurs propres et vecteurs propres
- P. 342
- 8.4 Système différentiel du premier ordre
- P. 342
- 8.4.1 Théorie basique
- P. 344
- 8.4.2 Systèmes linéaires homogènes du premier ordre
- P. 346
- 8.5 Systèmes homogènes à coefficients constants
- P. 347
- 8.5.1 Cas 1 : n valeurs propres réelles distinctes
- P. 349
- 8.5.2 Cas 2 : valeurs propres complexes simples
- P. 352
- 8.5.3 Cas 3 : valeurs propres multiples
- P. 361
- 8.6 Systèmes linéaires non homogènes
- P. 366
- 8.7 Utilisation de la transformée de Laplace
- P. 369
- 8.8 Conclusion
- P. 373
- 9 Introduction aux méthodes numériques
- P. 374
- 9.1 Méthode d'Euler
- P. 374
- 9.1.1 Problème traité
- P. 374
- 9.1.2 Description de la méthode
- P. 381
- 9.2 Méthode de Taylor
- P. 389
- 9.3 Méthodes de Runge-Kutta
- P. 395
- 10 Appendice : Résolution des équations différentielles avec le logiciel Mathematica
- P. 395
- 10.1 Généralités
- P. 395
- 10.1.1 Instructions
- P. 396
- 10.1.2 Opérations arithmétiques simples
- P. 396
- 10.1.3 Affectation
- P. 397
- 10.1.4 Règles et substitutions
- P. 397
- 10.1.5 Fonctions et objets prédéfinis
- P. 398
- 10.1.6 Menu Help
- P. 398
- 10.1.7 Fonctions
- P. 398
- 10.2 Séries entières
- P. 400
- 10.3 Représentations graphiques
- P. 406
- 10.4 Dérivation
- P. 407
- 10.5 Intégration
- P. 409
- 10.6 Résolution des équations différentielles
- P. 410
- 10.6.1 La commande DSolve :
- P. 423
- 10.6.2 La commande NDSolve
- P. 426
- 10.7 Transformée de Laplace
- P. 428
- 10.8 Solutions séries
- P. 430
- 10.9 Conclusion
- P. 431
- Bibliographie
- P. 433
- Index