Fondements des équations différentielles ordinaires : analyse qualitative et quantitative des solutions
Cet ouvrage a pour objectif de rassembler de façon cohérente les fondements de la théorie des équations différentielles et d'apporter quelques prolongements utiles à une analyse approfondie des solutions. Il s'adresse principalement aux étudiants des licences mathématiques et MIASHS (mathé...
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| Autore principale: | |
|---|---|
| Natura: | Livre papier |
| Lingua: | Français |
| Pubblicazione: |
Paris :
Ellipses
DL 2016.
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| Serie: | Références sciences
|
| Soggetti: | |
| Autres localisations: | Voir dans le Sudoc |
Sommario:
- P. 5
- 1 Introduction, vocabulaire de base
- P. 5
- 1.1 Un peu d'histoire (avant 1900)
- P. 12
- 1.2 Les systèmes différentiels : vocabulaire de base
- P. 12
- 1.2.1 Premières définitions et exemples
- P. 17
- 1.2.2 Écriture normalisée, champs de vecteurs
- P. 19
- 1.2.3 Deux familles remarquables de systèmes différentiels
- P. 20
- 1.2.4 Espace des phases et espace des phases élargi
- P. 25
- 1.3 Intégrales premières
- P. 25
- 1.3.1 Deux exemples introductifs
- P. 26
- 1.3.2 Définition générale d'une intégrale première
- P. 29
- 1.4 Modèles simples entièrement étudiés
- P. 32
- 1.5 Un point d'histoire
- P. 34
- 1.6 Exercices
- P. 39
- 2 Théorèmes fondamentaux
- P. 40
- 2.1 Théorème d'existence de Peano
- P. 45
- 2.2 Théorème de Cauchy-Lipschitz
- P. 49
- 2.3 Solutions maximales, solutions globales
- P. 56
- 2.4 Cas des systèmes différentiels autonomes
- P. 56
- 2.4.1 Les systèmes dynamiques
- P. 57
- 2.4.2 Pourquoi les systèmes différentiels autonomes sont-ils des systèmes dynamiques ?
- P. 63
- 2.5 Un point d'histoire
- P. 64
- 2.6 Exercices
- P. 71
- 3 Systèmes différentiels linéaires
- P. 72
- 3.1 Propriétés générales
- P. 74
- 3.2 Matrice fondamentale, résolvante, wronskien
- P. 74
- 3.2.1 Matrice fondamentale
- P. 75
- 3.2.2 Résolvante
- P. 77
- 3.2.3 Expression de la solution générale d'un système linéaire non homogène
- P. 78
- 3.2.4 Le wronskien
- P. 80
- 3.2.5 Réduction d'ordre des systèmes différentiels linéaires
- P. 83
- 3.3 Résolution des systèmes linéaires constants
- P. 84
- 3.3.1 Forme de Jordan d'une matrice
- P. 86
- 3.3.2 Fonctions analytiques de matrices
- P. 90
- 3.3.3 Matrice fondamentale des systèmes différentiels linéaires à coefficients constants
- P. 93
- 3.4 Portraits de phases des systèmes 2 x 2
- P. 94
- 3.4.1 La valeur propre est double
- P. 95
- 3.4.2 Les valeurs propres sont réelles et distinctes
- P. 96
- 3.4.3 Les valeurs propres sont complexes conjuguées
- P. 99
- 3.5 Un point d'histoire
- P. 100
- 3.6 Exercices
- P. 105 ##
- 4 Intégrales premières et courbes invariantes
- P. 106
- 4.1 Premières définitions et exemples
- P. 106
- 4.1.1 Dérivée suivant un système différentiel, crochet de Lie
- P. 109
- 4.1.2 Intégrales premières
- P. 110
- 4.2 Existence d'intégrales premières locales
- P. 110
- 4.2.1 Dépendance fonctionnelle
- P. 111
- 4.2.2 Théorème d'existence d'intégrales premières locales
- P. 113
- 4.3 Réduction de l'ordre des systèmes différentiels
- P. 114
- 4.4 Méthode du facteur intégrant
- P. 115
- 4.4.1 Motivation et définition
- P. 117
- 4.4.2 Langage des formes différentielles
- P. 120
- 4.5 Intégrales particulières
- P. 120
- 4.5.1 Définitions, premières propriétés
- P. 123
- 4.6 Systèmes hamiltoniens
- P. 123
- 4.6.1 Les formalismes newtonien et lagrangien
- P. 126
- 4.6.2 Le formalisme hamiltonien
- P. 130
- 4.6.3 Intégrabilité complète des systèmes hamiltoniens
- P. 134
- 4.7 Un point d'histoire
- P. 136
- 4.8 Exercices
- P. 141
- 5 Dépendance des solutions par rapport aux conditions initiales et aux paramètres
- P. 142
- 5.1 Dépendance continue par rapport aux conditions initiales et aux paramètres
- P. 142
- 5.1.1 Deux exemples introductifs
- P. 143
- 5.1.2 Théorème de dépendance continue par rapport aux conditions initiales et aux paramètres
- P. 150
- 5.2 Différentiabilité des solutions par rapport aux conditions initiales et aux paramètres
- P. 150
- 5.2.1 Équations aux variations
- P. 157
- 5.2.2 Théorème de Liouville et exemples
- P. 159
- 5.3 Un point d'histoire
- P. 161
- 5.4 Exercices
- P. 167
- 6 Stabilité au sens de Lyapounov
- P. 167
- 6.1 Exemple introductif
- P. 168
- 6.2 Stabilité dans les systèmes autonomes
- P. 172
- 6.3 Stabilité dans les systèmes non autonomes
- P. 174
- 6.4 Stabilité des systèmes linéaires
- P. 174
- 6.4.1 Caractérisations des stabilités dans le cas linéaire
- P. 177
- 6.4.2 Stabilité des systèmes linéaires homogènes constants
- P. 178
- 6.4.3 Critère de Routh-Hurwitz
- P. 186
- 6.5 Méthode directe de Lyapounov
- P. 186
- 6.5.1 Cas des systèmes autonomes
- P. 189
- 6.5.2 Cas des systèmes non autonomes
- P. 192
- 6.5.3 Lemme de Morse
- P. 195
- 6.5.4 Deux exemples traités par la methode directe
- P. 197
- 6.6 Théorème de la première approximation
- P. 199
- 6.7 Un point d'histoire
- P. 201
- 6.8 Exercices
- P. 205
- 7 Introduction aux systèmes dynamiques
- P. 206
- 7.1 Définitions, exemples
- P. 212
- 7.2 Les ensembles limites
- P. 216
- 7.3 Stabilités au sens de Lyapounov et de Poisson
- P. 217
- 7.3.1 Stabilité au sens de Poisson
- P. 222
- 7.3.2 Stabilité au sens de Lyapounov
- P. 222
- 7.4 Systèmes dynamiques discrets
- P. 225
- 7.5 Un point d'histoire
- P. 227
- 7.6 Exercices
- P. 231
- 8 Systèmes différentiels plans
- P. 231
- 8.1 Introduction
- P. 232
- 8.2 Définitions et premières propriétés
- P. 232
- 8.2.1 Points singuliers élémentaires et multiples
- P. 233
- 8.2.2 Directions critiques
- P. 236
- 8.2.3 Courbes de Jordan et indice de champs de vecteurs
- P. 244
- 8.2.4 Cycles, cycles limites
- P. 246
- 8.3 Théorème de Poincaré-Bendixson
- P. 246
- 8.3.1 Arcs sans contact
- P. 254
- 8.3.2 Théorèmes de Poincaré-Bendixson
- P. 257
- 8.4 Étude des points singuliers élémentaires
- P. 257
- 8.4.1 Théorème de Hartman-Grobman
- P. 260
- 8.4.2 Retour sur les points singuliers élémentaires
- P. 263
- 8.5 Retour sur les points singuliers multiples
- P. 263
- 8.5.1 Secteurs hyperboliques, paraboliques et elliptiques
- P. 265
- 8.6 Comportement des trajectoires à l'infini
- P. 268
- 8.7 Un point d'histoire
- P. 270
- 8.8 Exercices
- P. 275
- 9 Annexes
- P. 275
- 9.1 Annexe 1 : résolution des équations différentielles
- P. 275
- 9.1.1 Différentes classes d'équations différentielles scalaires
- P. 278
- 9.1.2 Équations différentielles linéaires du premier ordre
- P. 279
- 9.1.3 Équations différentielles linéaires d'ordre 2
- P. 282
- 9.1.4 Résolution à l'aide des séries entières
- P. 285
- 9.2 Annexe 2 : méthodes numériques
- P. 285
- 9.2.1 Méthodes d'Euler et du point milieu
- P. 289
- 9.2.2 Consistance, convergence et stabilité des méthodes
- P. 295
- 9.2.3 Méthode de Runge-Kutta
- P. 301
- Bibliographie
- P. 303
- Index