Géométrie projective
Ce livre est une synthèse de divers cours de géométrie donnés à la faculté des sciences ainsi qu'à l'IREM d'Aix-Marseille, en licence et en master de mathématiques, pour la préparation aux concours d'enseignement ou pour la formation des professeurs, ou encore dans des options or...
Kaydedildi:
| Yazar: | |
|---|---|
| Materyal Türü: | Livre papier |
| Dil: | Français |
| Baskı/Yayın Bilgisi: |
Paris :
Ellipses
C 2015.
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| Seri Bilgileri: | Références sciences
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| Konular: | |
| Autres localisations: | Voir dans le Sudoc |
İçindekiler:
- P. 1
- 1 Bases de la géométrie projective
- P. 1
- 1.1 Introduction
- P. 3
- 1.2 Espaces projectifs
- P. 3
- 1.2.1 Construction vectorielle
- P. 4
- 1.2.2 Carte affine
- P. 6
- 1.2.3 Sous-espaces projectifs
- P. 7
- 1.2.4 Les coordonnées homogènes
- P. 7
- Système de coordonnées projectives
- P. 9
- Coordonnées homogènes, coordonnées affines
- P. 10
- Cas des équations polynomiales
- P. 11
- 1.2.5 Repère projectif
- P. 12
- 1.2.6 Dessins. Les diverses cartes
- P. 14
- 1.2.7 Conclusion de cette première approche
- P. 15
- 1.3 Applications projectives
- P. 15
- 1.3.1 Construction des applications projectives à partir des applications linéaires
- P. 17
- 1.3.2 Structure de groupe des homographies d'un espace projectif
- P. 19
- 1.3.3 Expression à l'aide d'un repère projectif
- P. 19
- Transformation d'un repère en un autre
- P. 20
- Expression analytique d'une homographie
- P. 22
- Les points invariants d'une homographie d'un espace projectif dans lui-même
- P. 23
- 1.3.4 Trace sur une carte affine d'une transformation projective
- P. 23
- Transformations homographiques et transformations affines
- P. 24
- Liens entre les expressions analytiques affines et projectives
- P. 26
- L'exemple des translations, transvections
- P. 27
- 2 Fonctionnement de la géométrie projective
- P. 27
- 2.1 Les théorèmes fondamentaux
- P. 27
- 2.1.1 Le théorème de Desargues
- P. 29
- 2.1.2 Le théorème de Pappus
- P. 30
- 2.1.3 Opérations algébriques sur une droite projective
- P. 30
- L'addition
- P. 31
- La multiplication
- P. 33
- 2.1.4 Transformation projective et colinéation
- P. 36
- 2.2 Géométrie projective sur la droite projective
- P. 36
- 2.2.1 Quotient des coordonnées projectives d'un point
- P. 38
- 2.2.2 Le birapport de quatre points alignés
- P. 40
- 2.2.3 Un exemple important : les perspectives
- P. 42
- 2.2.4 Construction des images d'une homographie
- P. 43
- 2.2.5 Les involutions de la droite projective
- P. 47
- 2.2.6 Exemple concernant la division harmonique
- P. 48
- 2.3 La dualité
- P. 48
- 2.3.1 Espace projectif dual
- P. 51
- 2.3.2 Exemples de situations duales
- P. 52
- 2.4 Exemples d'espaces et de transformations
- P. 52
- 2.4.1 Espaces d'hyperplans
- P. 53
- 2.4.2 Espaces de cercles
- P. 54
- 2.4.3 Espaces de coniques
- P. 55
- 2.4.4 Un peu d'optique
- P. 57
- 3 Les coniques en géométrie projective
- P. 57
- 3.1 Les coniques projectives
- P. 57
- 3.1.1 Avertissement sur les courbes algébriques
- P. 57
- Les trois extensions indispensables
- P. 58
- Transformations homographiques et similitudes
- P. 59
- 3.1.2 La dualité revisitée
- P. 59
- La mise en place des notions de base
- P. 61
- Equation tangentielle
- P. 64
- Pôles et polaires
- P. 65
- Droites conjuguées
- P. 66
- Suite du dictionnaire obtenu grâce à la transformation par polaires réciproques
- P. 66
- Remarque : conjugaison et homographies
- P. 67
- 3.2 La structure projective d'une conique
- P. 67
- 3.2.1 Définition de la structure
- P. 70
- 3.2.2 Birapport
- P. 70
- 3.2.3 Théorème de Pascal et de Brianchon
- P. 73
- 3.2.4 Constructions de points et de tangentes
- P. 73
- Construction d'un point d'une conique donnée par 5 points
- P. 73
- Construction d'une tangente à une conique donnée par 5 tangentes
- P. 73
- Construction d'une tangente en un point choisi parmi 5 points définissant une conique
- P. 74
- Construction du point de contact d'une tangente à une conique choisie parmi 5 tangentes définissant cette conique
- P. 75
- 3.2.5 Conique à structure projective plongée dans le plan
- P. 75
- Théorème de Frégier
- P. 77
- Axe d'homographie
- P. 78
- Application : recherche de l'image M' d'un point M par une homographie donnée par 3 couples de points homologues
- P. 78
- Application : recherche des points fixes d'une homographie sur la droite
- P. 78
- Application : recherche des intersections d'une conique donnée par 5 points avec une droite
- P. 78
- Application : le problème de Castillon
- P. 79
- Généralisation du théorème de Frégier
- P. 85
- 4 Point de vue des groupes de transformations
- P. 85
- 4.1 Produit semi-direct de groupes
- P. 86
- 4.2 Groupes de la géométrie classique
- P. 86
- 4.2.1 Groupe linéaire, groupe projectif
- P. 87
- 4.2.2 Groupe affine
- P. 88
- 4.2.3 Groupes SL(n, K), SA(n, K) et PSL(n, K)
- P. 88
- 4.2.4 Groupes classiques et groupes projectifs
- P. 91
- 5 Compléments et applications
- P. 91
- 5.1 Autres corps de base, cas des corps finis
- P. 94
- 5.2 L'aspect axiomatique
- P. 97
- 5.3 Les applications à la perspective
- P. 97
- 5.3.1 Généralités sur les représentations à base de projection
- P. 97
- 5.3.2 Projection centrale, perspective
- P. 107
- 6 Exercices
- P. 107
- 6.1 Les énoncés
- P. 107
- 6.1.1 Bases de la géométrie projective
- P. 108
- 6.1.2 Le fonctionnement de la géométrie projective
- P. 110
- 6.1.3 Les coniques en géométrie projective
- P. 113
- 6.1.4 Point de vue des groupes de transformations
- P. 114
- 6.1.5 Compléments et applications
- P. 116
- 6.2 Les solutions
- P. 116
- 6.2.1 Bases de la géométrie projective
- P. 120
- 6.2.2 Le fonctionnement de la géométrie projective
- P. 121
- 6.2.3 Les coniques en géométrie projective
- P. 126
- 6.2.4 Point de vue des groupes de transformations
- P. 128
- 6.2.5 Compléments et applications
- P. 131
- Bibliographie
- P. 133
- Index