Cours d'algèbre et d'algorithmique : applications à la cryptologie du RSA et du logarithme discret
Comment savoir si un nombre entier est composé ou premier, et dans le cas où il est composé, comment obtenir sa factorisation primaire ? Ces questions essentielles de la théorie des nombres sont au centre des préoccupations de tous ceux qui étudient une discipline frontière entre les mathématiques e...
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| Auteur principal: | |
|---|---|
| Format: | Livre papier |
| Langue: | Français |
| Publié: |
Toulouse :
Cépaduès-éd.
DL 2014.
|
| Édition: | 2e édition. |
| Sujets: | |
| Autres localisations: | Voir dans le Sudoc |
| Edition sous un autre format: | • Cours d'algèbre et d'algorithmique, applications à la cryptologie du RSA et du logarithme discret, Pierre Meunier,..., 2014, Toulouse, Cépaduès-éditions, 978-2-36493-452-8 |
Table des matières:
- Introduction
- P. 1
- Chapitre 1 Les groupes
- P. 1
- 1.1 Monoïdes et groupes
- P. 3
- 1.2 Groupes monogènes et groupes cycliques
- P. 10
- 1.3 Le problème du logarithme discret dans un groupe cyclique
- P. 14
- 1.4 Sous-groupes additifs de Zn ; application à la structure des groupes abéliens ; cas particuliers des groupes abéliens finis
- P. 24
- 1.5 Indicatrice d'Euler
- P. 25
- 1.6 Couplages de groupes
- P. 29
- Chapitre 2 Anneaux et corps ; Corps finis
- P. 29
- 2.1 Définitions
- P. 32
- 2.2 Les corps - Caractéristique d'un corps - Polynômes cyclotomiques sur un corps K - Racines primitives de l'unité dans un corps
- P. 40
- 2.3 Les corps finis ; le corps à pm éléments
- P. 48
- 2.4 Clôture algébrique d'un corps
- P. 55
- Chapitre 3 Anneaux Z et K[X] - Résiduosité quadratique
- P. 55
- 3.1 Anneaux quotients de Z
- P. 60
- 3.2 Anneaux quotients dans K[X]
- P. 61
- 3.3 Le théorème chinois dans Z ou dans K[X]
- P. 64
- 3.4 Algorithmes d'Euclide dans Z ou dans K[X] ; applications
- P. 67
- 3.5 Résidus quadratiques modulo p premiers - Symbole de Legendre
- P. 69
- 3.6 Application à la décomposition de Phin(X) en facteurs premiers sur un corps premier de Frobénius Fp dans un cas particulier utile en cryptologie
- P. 75
- 3.7 Généralisation : le symbole de Jacobi
- P. 77
- Chapitre 4 Algorithmes - Complexités
- P. 77
- 4.1 Définitions
- P. 80
- 4.2 Coût (ie complexité) d'un algorithme - Exemples
- P. 84
- 4.3 Algorithmes (ou tests) de primalité de Miller et de Solovay-Strassen
- P. 91
- 4.4 Coût des algorithmes génériques de Shanks et de Pohlig-Hellman
- P. 92
- 4.5 Algorithmes de type "index calculus"
- P. 94
- 4.6 Compléments mathématiques indispensables pour l'étude des algorithmes de calcul d'index
- P. 104
- 4.7 L'algorithme de type index calculus de Kraitchik dans Fp
- P. 112
- 4.8 L'algorithme de type index-calculus de Schirokauer
- P. 116
- 4.9 Généralisation : algorithmes de calcul des log-discrets dans les corps non premiers : Fpn, avec n >/= 2
- P. 119
- 4.10 Algorithme de factorisation du crible algébrique général (GNFS=General Number Field Sieve)
- P. 135
- 4.11 Des algorithmes déterministes de primalité : les tests APR-CL et AKS
- P. 143
- Chapitre 5 Les deux grands cryptosystèmes à clé publique : le RSA et le cryptosystème El-Gamal
- P. 143
- 5.1 Définitions
- P. 146
- 5.2 Le cryptosystème RSA
- P. 149
- 5.3 Le cryptosystème El-Gamal (logarithme discret)
- P. 153
- 5.4 Remarques pour finir
- P. 157
- Chapitre 6 Cryptanalyse du RSA
- P. 157
- 6.1 Quelques compléments mathématiques indispensables
- P. 162
- 6.2 L'attaque de Wiener du protocole RSA
- P. 168
- 6.3 Une autre attaque du RSA
- P. 169
- 6.4 Le théorème de Coppersmith
- P. 172
- 6.5 Autres attaques du RSA - Attaque de Håstad
- P. 173
- 6.6 Des recommandations et quelques résultats concernant le RSA
- P. 179
- Chapitre 7 Cryptosystème El-Gamal dans (Kn, *) où * est la loi de convolution, K étant un corps fini ayantqéléments etnun entier, n >/= 2
- P. 179
- 7.1 La loi de convolution * dans Kn
- P. 181
- 7.2 Le groupe (G, *)
- P. 185
- 7.3 Etude du cardinal du groupe (G, *) quand q Delta n = 1. Applications ; c.n.s. pour que (G, *) soit cyclique
- P. 188
- 7.4 Cryptosystème El-Gamal dans Kn relativement à un sous-groupe cyclique H de (G, *)
- P. 189
- 7.5 Cryptosystème El-Gamal dans Kn associé au groupe (G, *) lorsque celui-ci est cyclique ; cryptosystèmes induits associés
- P. 196
- 7.6 Exemple de cryptosystème proposé
- P. 197
- 7.7 Un cryptosystème dans Fnp lorsque (G, *) n'est pas cyclique
- P. 206
- 7.8 Quelques observations algébriques pour finir
- P. 207
- 7.9 Annexes numériques et justifications éditoriales
- P. 213
- Chapitre 8 Les courbes elliptiques
- P. 213
- 8.1 Introduction
- P. 215
- 8.2 Les courbes elliptiques sur un corps fini ou non de caractéristique distincte de 2 et de 3
- P. 319
- Chapitre 9 Chapitre de conclusion
- P. 319
- 9.1 Introduction
- P. 319
- 9.2 Les deux modes de chiffrement
- P. 321
- 9.3 Quelques règles et recommandations
- P. 322
- 9.4 Des justifications et des perspectives
- P. 325
- 9.5 En conclusion
- P. 327
- Annexe : Philosophie du cryptosystème du chapitre 7
- P. 335
- Postface
- P. 337
- Index